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Bibm@th

Polynôme minimal

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, soit $u$ un endomorphisme de $E$, et soit $P$ un polynôme de $\mathbb K[X]$. On dit que $P$ est un polynôme annulateur pour $u$ si $P(u)=0$.

Puisque $\mathcal L(E)$ est de dimension $n^2$, la famille $(Id,u,u^2,\dots,u^{n^2})$, qui comporte $n^2+1$ vecteurs, est liée. En particulier, il existe toujours un polynôme annulateur pour $u$. Notons $I$ l'ensemble des polynômes annulateurs de $u$. C'est un idéal de $\mathbb K[X]$. L'anneau $\mathbb K[X]$ étant principal, il existe un unique polynôme unitaire $P_u$ tel que $I=(P_u)$. Ce polynôme $P_u$ s'appelle le polynôme minimal de $u$.

Le polynôme minimal s'avère un outil (théorique) très important pour la réduction des endomorphismes. Par exemple, on a le résultat suivant :

Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

En particulier, les valeurs propres de u sont exactement les racines du polynôme minimal.

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