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Bibm@th

Théorème de Plancherel

On ne peut pas en général définir la transformée de Fourier d'une fonction de $L^2(\mathbb R)$ par la formule usuelle car l'intégrale $\int_{\mathbb R}e^{-ixt}f(t)dt$ n'a pas de raison d'exister pour une fonction quelconque de $L^2(\mathbb R)$. Toutefois, on peut néanmoins définir la transformée de Fourier de $f$ par le théorème suivant :

Théorème : Soit $f$ une fonction de $L^2(\mathbb R)$. Pour $A>0$, on définit : $$\varphi_A(f)(x)=\int_{-A}^A f(t)e^{-ixt}dt.$$ Alors, $\varphi_A$ converge dans $L^2$ quand $A$ tend vers l'infini vers une fonction $\mathcal F(f)$ qu'on appelle transformée de Fourier-Plancherel de $f$. En outre, si $f$ est dans $L^1(\mathbb R)\cap L^2(\mathbb R)$, alors $\mathcal F(f)$ coïncide avec la transformée de Fourier usuelle de $f$. Enfin, l'application $f\mapsto \mathcal F(f)$ est une isométrie bijective de $L^2(\mathbb R)$.
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