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Grand théorème de Picard

Le grand théorème de Picard est une généralisation du théorème de Casorati-Weierstrass.

Théorème : Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage épointé de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un certain nombre complexe.

Il existe une version fonction entière de cet énoncé, en remarquant que si $f$ est une fonction entière qui n'est pas un polynôme, alors $z\mapsto f(1/z)$ est une fonction holomorphe dont $0$ est une singularité essentielle.

Théorème : Soit $f$ une fonction entière qui n'est pas un polynôme. Alors il existe $w_0\in\mathbb C$ tel que l'image de $f$ contient $\mathbb C\backslash \{w_0\}$ et toute valeur de $\mathbb C\backslash \{w_0\}$ est prise une infinité de fois.
Ce résultat très profond illustre bien la complexité du comportement des fonctions holomorphes et leur différence par rapport aux fonctions de la variable réelle. Il fut prouvé en 1880 par le mathématicien Emile Picard à qui l'on doit également l'utilisation du théorème du point fixe pour des méthodes d'approximations successives de solutions.
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