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$p$-groupe

Soit $p$ un nombre premier. On appelle $p$-groupe un groupe dont tous les éléments ont pour ordre une puissance de $p$. Pour les groupes finis, cela revient à dire que l'ordre du groupe est une puissance de $p$. Les $p$-groupes possèdent les propriétés suivantes :

  • Tout sous-groupe et tout quotient d'un $p$-groupe est un $p$-groupe. Réciproquement, si $H$ est un $p$-sous-groupe normal d'un groupe $G$ et si le quotient $G/H$ est un $p$-groupe, alors $G$ est un $p$-groupe. En particulier un produit semi-direct de deux $p$-groupes est un $p$-groupe.
  • Tout $p$-groupe fini non trivial possède un centre non trivial.
  • Tout $p$-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
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