Matrice de permutation
Une matrice de permutation d'ordre $n$ est une matrice carrée de taille $n$ dont tous les coefficients sont égaux à $0$, sauf un coefficient sur chaque ligne et sur chaque colonne égal à $1$.
Les matrices de permutation sont associées aux permutations de $\{1,\dots,n\}$. Prenons $\sigma\in S_n$, et associons-lui la matrice $P_\sigma$ telle que la $j$-ème colonne de $P_\sigma$ ne comporte que des zéros, excepté le coefficient sur la $\sigma(j)$-ème ligne qui vaut $1$. Alors $P_\sigma$ est une matrice de permutation. Réciproquement, toute matrice de permutation définit une permutation par la transformation inverse. Dans ce cas, le déterminant de $P_\sigma$ est égal à la signature de $\sigma$, et la trace de $\sigma$ est égale au nombre de points fixes de $\sigma$.
Les matrices de permutation permettent de permuter les lignes et les colonnes d'une matrice $A$. Ainsi,
- $A P_\sigma$ est la matrice déduite de $A$ en permutant les colonnes de $A$ suivant la permutation $\sigma$;
- $P_\sigma A$ est la matrice déduite de $A$ en permutant les lignes de $A$ suivant la permutation $\sigma^{-1}$;
Par ailleurs, si $\sigma,\tau\in S_n$, alors $$P_\sigma P_\tau=P_{\sigma\circ\tau}. $$ Ainsi, l'ensemble des matrices de permutation forme un sous-groupe de $GL_n(\mathbb R)$ isomorphe au groupe symétrique $S_n$.