$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Matrice de permutation

Une matrice de permutation d'ordre $n$ est une matrice carrée de taille $n$ dont tous les coefficients sont égaux à $0$, sauf un coefficient sur chaque ligne et sur chaque colonne égal à $1$.

Les matrices de permutation sont associées aux permutations de $\{1,\dots,n\}$. Prenons $\sigma\in S_n$, et associons-lui la matrice $P_\sigma$ telle que la $j$-ème colonne de $P_\sigma$ ne comporte que des zéros, excepté le coefficient sur la $\sigma(j)$-ème ligne qui vaut $1$. Alors $P_\sigma$ est une matrice de permutation. Réciproquement, toute matrice de permutation définit une permutation par la transformation inverse. Dans ce cas, le déterminant de $P_\sigma$ est égal à la signature de $\sigma$, et la trace de $\sigma$ est égale au nombre de points fixes de $\sigma$.

Les matrices de permutation permettent de permuter les lignes et les colonnes d'une matrice $A$. Ainsi,

  • $A P_\sigma$ est la matrice déduite de $A$ en permutant les colonnes de $A$ suivant la permutation $\sigma$;
  • $P_\sigma A$ est la matrice déduite de $A$ en permutant les lignes de $A$ suivant la permutation $\sigma^{-1}$;

Par ailleurs, si $\sigma,\tau\in S_n$, alors $$P_\sigma P_\tau=P_{\sigma\circ\tau}. $$ Ainsi, l'ensemble des matrices de permutation forme un sous-groupe de $GL_n(\mathbb R)$ isomorphe au groupe symétrique $S_n$.

Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique