Le paradoxe du prince de Toscane

Le prince de Toscane avait remarqué que, bien qu'il y ait autant de façons d'écrire 9 et 10 comme somme de 3 nombres compris entre 1 et 6, on obtient plus souvent un total de 10 lorsqu'on lance 3 dés. Galilée lui donna une explication de ce paradoxe, que l'on formule ici en langage moderne.

Il y a effectivement autant de façons d'écrire 9 que 10 comme somme de 3 chiffres inférieurs ou égaux à 6 : $$9=\left\{\begin{array}{l} 1+2+6\\ 1+3+5\\ 1+4+4\\ 2+2+5\\ 2+3+4\\ 3+3+3 \end{array}\right. \quad\quad\quad\quad 10=\left\{\begin{array}{l} 1+3+6\\ 1+4+5\\ 2+2+6\\ 2+3+5\\ 2+4+4\\ 3+3+4 \end{array}\right.$$ Pour autant, ces écritures ne sont pas équivalentes : il n'y a qu'une seule façon d'obtenir $9$ sous la forme $3+3+3$ : chaque dé doit avoir la valeur $3$. A l'opposé, pour obtenir $10$ sous la forme $1+3+6,$ on choisit d'abord un dé parmi 3 qui vaut 1, puis un dé parmi les deux restants qui vaut 3, et le dernier vaut 6 : cela fait 6 façons!

Si l'on veut calculer la probabilité pour que la somme des chiffres fasse 9 ou 10, il faut donc avoir recours à un dénombrement précis des cas possibles. Si $i,j,k$ sont 3 chiffres compris entre 1 et 6, on note $P(\{i,j,k\})$ la probabilité d'obtenir le triplet (non ordonné) $\{i,j,k\}$. On a : $$\begin{array}{rcll} P(\{i,j,k\})&=&\frac{6}{216}&\textrm{ si $i,j,k$ sont deux à deux distincts}\\ P(\{i,j,k\})&=&\frac{3}{216}&\textrm{ si $i=j\neq k$}\\ P(\{i,j,k\})&=&\frac{1}{216}&\textrm{ si $i=j=k$}. \end{array}$$ On a donc : $$P(\textrm{Somme vaut }9)=\frac{6+6+3+3+6+1}{216}=\frac{25}{216}\simeq 0,\!116$$ $$P(\textrm{Somme vaut }10)=\frac{6+6+3+6+3+3}{216}=\frac{27}{216}\simeq 0,\!125.$$ La différence est faible. Il fallait que le prince de Toscane soit un sacré joueur pour pouvoir la détecter!