Partie entière
Si $x$ est un réel, la partie entière de $x$ est le plus grand entier $n$ qui est inférieur ou égal à $x$. En clair, la partie entière de $x$ est le seul entier $n\in\mathbb Z$ tel que $n\leq x< n+1$. La partie entière est unique, car si $m$ est un autre entier tels que $m\leq x<m+1$, on a $m<n+1$ et $n<m+1$ et donc $m=n$. L'existence de la partie entière n'est pas non plus complètement triviale. Elle est due au fait que $\mathbb R$ est archimédien, c'est-à-dire qu'il existe au moins un entier plus grand que $x$. Supposons par exemple $x>0$ et considérons $\{q\in\mathbb N; q> x\}$. Alors cet ensemble est non vide et comme il est inclus dans $\mathbb N$, il possède un plus petit élément. Notons le $p$. Alors $n=p-1$ vérifie $n\leq x<n+1$ et donc $n$ est la partie entière de $x$.
Notation : La partie entière de $x$ est maintenant notée $\lfloor x\rfloor$. On rencontre encore souvent les anciennes notations $E(X)$ ou encore $[x]$.
Voici la courbe représentative de la fonction partie entière :
Il s'agit d'une fonction croissante, continue en tout réel qui n'est pas un entier, continue à droite en tout entier. Ellle vérifie en outre les propriétés suivantes : pour tout $n\in\mathbb Z$ et tous $x,y\in\mathbb R,$ $$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\ \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor\leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor+1.$$
La partie fractionnaire d'un réel $x$ est le réel $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$, qui est toujours dans l'intervalle $[0,1[$. Voici la courbe représentative de la fonction partie fractionnaire :
La fonction partie entière est d'usage assez fréquent en analyse pour approcher des réels. Voici par exemple, étant donné un nombre réel $x$, une suite de nombres décimaux qui converge vers $x$ : $\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}.$ Ceci permet par exemple de démontrer que l'ensemble des rationnels, et même plus précisément des décimaux, est dense dans l'ensemble des réels.
Il ne faut pas confondre la partie entière d'un réel avec sa troncature. La troncature du réel 5.23787 est 5 : c'est aussi sa partie entière, comme pour tous les réels positifs. Mais la troncature de -6.698 est -6, alors que sa partie entière est -7. Cela peut être important de savoir si sur votre calculatrice vous employez la fonction de troncature ou de partie entière!