Théorème de Parseval
Théorème : Soit $f$ une fonction continue par morceaux, $2\pi-$périodique. Alors on a les égalités suivantes :
\begin{align*}
\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(t)|^2dt&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n(f)|^2\\
&=|a_0(f)|^2+\frac12\left(\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n(f)|^2+|b_n(f)|^2\right).
\end{align*}
Ici, $a_n(f)$, $b_n(f)$ et $c_n(f)$ désignent les coefficients de Fourier de $f.$
Il s'agit d'un résultat très utile, à la fois sur un plan théorique (pour montrer par exemple que l'application qui à une fonction continue associe ses coefficients de Fourier est injective) et sur un plan pratique (pour calculer la somme de certaines séries). Il se généralise à une fonction $2\pi$-périodique de carré intégrable sur $[0,2\pi].$
Ce théorème de Parseval pour les séries de Fourier est en fait un cas particulier d'un théorème plus général dans les espaces préhilbertiens, muni d'un système orthonormal total, théorème qu'on appelle aussi parfois théorème de Parseval (ou Parseval-Bessel).
Sous la forme donnée ici, il est dû à Lebesgue. Il est aussi vrai pour les fonctions de carré intégrable, et c'est Pierre Fatou qui le premier le démontra dans ce cadre.
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