$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Nombres p-adiques

Comme les nombres réels sont construits à partir des nombres rationnels en complétant $\mathbb Q$ pour la topologie induite par la valeur absolue, les nombres $p$-adiques sont obtenus en complétant $\mathbb Q$, mais pour une topologie différente, celle induite par la distance p-adique.

On fixe donc un entier premier $p$ et on définit la norme $p$-adique de la façon suivante :

  • Si $n$ est un entier, la valuation $p$-adique de $n$, notée $v_p(n)$, est l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$.
  • Si $r=a/b$ est un rationnel, on pose $v_p(r)=v_p(a)-v_p(b)$. Ceci ne dépend pas du représentant $a/b$ choisi pour la fraction $r$.
  • On pose aussi $v_p(0)=-\infty$.
  • La norme $p$-adique d'un rationnel $r$ est alors défini par :

Alors, $|\cdot|_p$ est une norme sur $\mathbb Q$, avec des propriétés très différentes de la valeur absolue. Par exemple,

  • Plus $|r|_p$ est petit, plus une grande puissance de $p$ divise $r$. Ainsi, un rationnel peut avoir une très grande valeur absolue, et une très petite norme $p$-adique. Par exemple, $$ \begin{array}{rcl} |250|_5&=&|2^1\times 5^3|_5=5^{-3}=\frac1{125}\\ \left|\frac{13}{1750}\right|_5&=&\left|2^{-1}\times 5^{-3}\times 7^{-1}\times 13\right|_5=5^3=125. \end{array} $$
  • La distance $p$-adique définie sur $\mathbb Q$ par $d_p(x,y)=|x-y|_p$ est une distance ultra-métrique :
Définition : Le corps des nombres $p$-adiques, noté $\mathbb Q_p$, est le complété de $\mathbb Q$ pour la norme $p$-adique.

On peut encore décrire autrement les nombres $p$-adiques. Si $n$ est un entier positif, il s'écrit de façon unique sous la forme

La suite $(a_i)$ est définie par

  • $a_0$ est l'entier de $\{0,…,p-1\}$ qui est congru à $n$ modulo $p$;
  • $a_{j+1}$ est l'entier de $\{0,…,p-1\}$ qui est congru à
    modulo $p$.

Les nombres $p$-adiques sont ceux qui s'écrivent

Cette série est convergente pour la distance $p$-adique. L'écriture précédente s'appelle décomposition de Hensel de $r$.

Finalement, l'ensemble des entiers $p$-adiques, noté $\mathbb Z_p$, est l'ensemble des éléments $r$ de $\mathbb Q$p s'écrivant

C'est un sous-anneau de $\mathbb Q_p$.

Les nombres $p$-adiques ont été introduits par Hensel en 1897. Son idée était de pouvoir utiliser la théorie des séries entières en arithmétique. Depuis, toute une branche des mathématiques, l'analyse p-adique, s'est développée sur ses idées.
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