Noyaux itérés
Soit $E$ un espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$. La suite des noyaux itérés est la suite des sous-espaces vectoriels $(\ker (u^q))_{q\geq 0}$. Cette suite vérifie un certain nombre de propriétés :
- elle est croissante pour l'inclusion.
- s'il existe un $r\in\mathbb N$ tel que $\ker (u^r)=\ker (u^{r+1})$, alors pour tout $q\geq r$, on a $\ker (u^q)=\ker (u^r)$.
- Si $E$ est de dimension finie, il existe un plus petit entier naturel $r$ tel que $\ker (u^r)=\ker (u^{r+1}).$ Cet entier est appelé indice de l'endomorphisme $u$. On a alors aussi $\textrm{Im}(u^q)=\textrm{Im} (u^r)$ pour tout $q\geq r$, et la décomposition en somme directe $$\ker (u^r)\oplus \textrm{Im} (u^r)=E.$$
- Si on note $d_k$ la dimension de $\ker (u^k)$, alors $$\forall k\geq 0,\ d_{k+1}-d_k\geq d_{k+2}-d_{k+1},$$ autrement dit la suite de la différence des dimensions entre deux noyaux itérés consécutifs est décroissante.
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