$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Noyaux itérés

Soit $E$ un espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$. La suite des noyaux itérés est la suite des sous-espaces vectoriels $(\ker (u^q))_{q\geq 0}$. Cette suite vérifie un certain nombre de propriétés :

  • elle est croissante pour l'inclusion.
  • s'il existe un $r\in\mathbb N$ tel que $\ker (u^r)=\ker (u^{r+1})$, alors pour tout $q\geq r$, on a $\ker (u^q)=\ker (u^r)$.
  • Si $E$ est de dimension finie, il existe un plus petit entier naturel $r$ tel que $\ker (u^r)=\ker (u^{r+1}).$ Cet entier est appelé indice de l'endomorphisme $u$. On a alors aussi $\textrm{Im}(u^q)=\textrm{Im} (u^r)$ pour tout $q\geq r$, et la décomposition en somme directe $$\ker (u^r)\oplus \textrm{Im} (u^r)=E.$$
  • Si on note $d_k$ la dimension de $\ker (u^k)$, alors $$\forall k\geq 0,\ d_{k+1}-d_k\geq d_{k+2}-d_{k+1},$$ autrement dit la suite de la différence des dimensions entre deux noyaux itérés consécutifs est décroissante.
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