Norme, etc...
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Une norme sur $E$ est une application $N$ de $E$ dans $\mathbb R_+$ vérifiant les conditions suivantes pour tous $x,y$ dans $E$ :
- $N(x)=0$ si et seulement si $x=0$.
- $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$.
- $\forall \lambda\in\mathbb K,\ N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$.
Soit $E$ un espace vectoriel que l'on munit de deux normes $N$ et $N'$. On dit que ces deux normes sont équivalentes s'il existe deux constantes $a$ et $b$ telles que : $$\forall x\in E,\ aN(x)\leq N'(x)\leq b N(x).$$ Par exemple, les normes produits sur un espace normé telles qu'elles sont définies ci-après sont équivalentes. En revanche, si $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$, les normes suivantes ne sont pas équivalentes : $$\|f\|_\infty=\sup_{t\in [0,1]}|f(t)|,\ \|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt.$$ L'idée est que si f est grand sur un intervalle petit, la norme infinie de f sera grande alors que la norme 1 de f restera raisonnable. Plus précisément on peut considérer la suite de fonctions suivante :

La norme 1 de $f_n$ vaut 1/2, tandis que sa norme infinie vaut $n$.
L'intérêt des normes équivalentes est qu'elles définissent la même topologie sur un espace normé : mêmes ouverts, mêmes fermés, mêmes suites convergentes...
Si $E$ a une structure d'algèbre, par exemple $E$ est l'algèbre des matrices carrées d'ordre $n$ sur $\mathbb R$, une norme matricielle $N$ sur $E$ est une norme qui respecte la structure de ce produit. En d'autres termes, si $A$ et $B$ sont des éléments de $E$, on souhaite avoir l'inégalité : $$N(AB)\leq N(A)N(B).$$
Soit $E_1,\dots,E_n$ des espaces normés. On appelle norme produit sur l'espace produit $E=E_1\times\cdots\times E_n$ l'une des normes suivantes (on a posé $x=(x_1,\dots,x_n)$) :
- $N_1(x)=|x_1|+\cdots+|x_n|$.
- $N_2(x)=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$.
- $N_\infty(x)=\max_{i=1,\dots,n}|x_i|$.
- $N_2(x)=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$.
En outre, ces normes vérifient l'inégalité suivante :

Autrement dit, elles sont équivalentes et définissent les mêmes ouverts. Ces ouverts correspondent aux ouverts de la topologie produit de $E=E_1\times\cdots\times E_n$.