$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Norme, etc...

Définition d'une norme

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. Une norme sur $E$ est une application $N$ de $E$ dans $\mathbb R_+$ vérifiant les conditions suivantes pour tous $x,y$ dans $E$ :

  • $N(x)=0$ si et seulement si $x=0$.
  • $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$.
  • $\forall \lambda\in\mathbb K,\ N(\lambda x)=|\lambda|N(x)$.
La deuxième relation s'appelle l'inégalité triangulaire. L'espace $E$, muni de la norme $N$, s'appelle espace vectoriel normé.
Normes équivalentes

Soit $E$ un espace vectoriel que l'on munit de deux normes $N$ et $N'$. On dit que ces deux normes sont équivalentes s'il existe deux constantes $a$ et $b$ telles que : $$\forall x\in E,\ aN(x)\leq N'(x)\leq b N(x).$$ Par exemple, les normes produits sur un espace normé telles qu'elles sont définies ci-après sont équivalentes. En revanche, si $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$, les normes suivantes ne sont pas équivalentes : $$\|f\|_\infty=\sup_{t\in [0,1]}|f(t)|,\ \|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt.$$ L'idée est que si f est grand sur un intervalle petit, la norme infinie de f sera grande alors que la norme 1 de f restera raisonnable. Plus précisément on peut considérer la suite de fonctions suivante :

La norme 1 de $f_n$ vaut 1/2, tandis que sa norme infinie vaut $n$.

L'intérêt des normes équivalentes est qu'elles définissent la même topologie sur un espace normé : mêmes ouverts, mêmes fermés, mêmes suites convergentes...

Norme matricielle

Si $E$ a une structure d'algèbre, par exemple $E$ est l'algèbre des matrices carrées d'ordre $n$ sur $\mathbb R$, une norme matricielle $N$ sur $E$ est une norme qui respecte la structure de ce produit. En d'autres termes, si $A$ et $B$ sont des éléments de $E$, on souhaite avoir l'inégalité : $$N(AB)\leq N(A)N(B).$$

Norme produit

Soit $E_1,\dots,E_n$ des espaces normés. On appelle norme produit sur l'espace produit $E=E_1\times\cdots\times E_n$ l'une des normes suivantes (on a posé $x=(x_1,\dots,x_n)$) :

$N_1(x)=|x_1|+\cdots+|x_n|$.
$N_2(x)=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$.
$N_\infty(x)=\max_{i=1,\dots,n}|x_i|$.

En outre, ces normes vérifient l'inégalité suivante :

Autrement dit, elles sont équivalentes et définissent les mêmes ouverts. Ces ouverts correspondent aux ouverts de la topologie produit de $E=E_1\times\cdots\times E_n$.