$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
\newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
\newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$
Bibm@th
Norme, etc...
Définition d'une norme
Soit E un espace vectoriel sur K=R ou C. Une norme sur E est une application N de E dans R+ vérifiant les conditions suivantes pour tout x,y dans E :
- N(x)=0 si et seulement si x=0.
-
N(x+y)
N(x)+N(y)
-
pour tout k dans K, N(kx)=|k|N(x).
La deuxième relation s'appelle l'inégalité triangulaire. L'espace E, muni de la norme N, s'appelle espace vectoriel normé.
Normes équivalentes
Soit E un espace vectoriel que l'on munit de deux normes N et N'. On dit que ces deux normes sont équivalentes s'il existe deux constantes a et b telles que :
Pour tout x de E, on ait : aN(x)N'(x)bN(x).
Par exemple, les normes produits sur un espace normé telles qu'elles sont définies ci-après sont équivalentes. En revanche, si E=C([0,1],R), les normes suivantes ne sont pas équivalentes :
L'idée est que si f est grand sur un intervalle petit,
la norme infinie de f sera grande alors que la norme 1 de f restera
raisonnable. Plus précisément on peut considérer la suite de fonctions
suivante :
La norme 1 de fn vaut 1, tandis que sa norme infinie vaut n.
L'intérêt des normes équivalentes est qu'elles définissent la même topologie sur un espace normé : mêmes ouverts, mêmes fermés, mêmes suites convergentes...
Norme matricielle
Si E a une structure d'algèbre, par exemple E est l'algèbre des matrices carrées d'ordre n sur R, une norme matricielle N sur E est une norme qui respecte la structure de ce produit. En d'autres termes, si A et B sont des éléments de E, on souhaite avoir l'inégalité :
N(AB)N(A)N(B)
Norme produit
Soient E1,...,En des espaces normés. On appelle norme produit sur l'espace produit E=E1*...*En l'une des normes suivantes (on a posé x=(x1,...,xn)) :
En outre, ces normes vérifient l'inégalité suivante :
Autrement dit, elles sont équivalentes et définissent les mêmes ouverts. Ces ouverts correspondent aux ouverts de la topologie
produit de E1×...×En.
