$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes de Newton-Cotes

Dans les méthodes d'intégration numérique, pour calculer , on commence en général par subdiviser le segment $[a,b]$ en $N$ intervalles $[a_i,a_{i+1}]$, et on approche ensuite . Le cas particulier d'une méthode de Newton-Cotes d'ordre l est le suivant :

  • les segments $[a_i,a_{i+1}]$ ont tous la même longueur, $(b-a)/N$.
  • est approché par , où $P$ est un polynôme de degré l qui coïncide avec $f$ aux points , , ,...,.
Ainsi,
  • pour l=1, on retrouve la méthode des trapèzes.
  • pour l=2, on obtient la méthode de Simpson.
  • pour l=4, on obtient la méthode de Boole-Villarceau.
  • pour l=8, on obtient la méthode de Weddle-Hardy.

En règle générale, toutefois, pour obtenir un algorithme efficace, on préfère augmenter le nombre de fois où on coupe l'intervalle plutôt que l'ordre de la méthode.

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