Evénément négligeable

Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé. Un événement $A\in\mathcal A$ est dit négligeable si $P(A)=0.$

Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces, jusqu'à obtenir un 6. On note $G$ l'événement : "On n'obtient jamais de 6". Soit $A_n$ l'événement "Au cours des $n$ premiers lancers, on n'obtient pas de 6". Clairement, la suite $(A_n)$ est une suite décroissantes pour l'inclusion et $P(A_n)=5^n/6^n.$ Maintenant, $$G=\bigcap_n A_n\implies P(G)=P\left(\bigcap_n A_n\right)=\lim_n P(A_n)=0.$$ Ainsi, $G$ est un événement négligeable.

De la même façon, dans un espace mesuré $(\Omega,\mathcal A,m)$, une partie mesurable $A$ est dite négligeable si $m(A)=0.$ Plus généralement, une partie $A$ de $\Omega$ est négligeable s'il existe $B\in\mathcal A$ telle que $A\subset B$ et $m(B)=0.$

Il ne faut par confondre événement impossible et événement négligeable. Le seul événement impossible est l'ensemble vide. Un événement négligeable peut se produire en théorie (comme dans l'exemple précédent, il n'est pas impossible de ne jamais obtenir de 6). Mais en pratique, un événement négligeable ne se produit jamais.