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Dictionnaire de mathématiques > Théorie des nombres > Constantes particulières >

Nombres figurés, nombres polygonaux

  Les nombres figurés sont des nombres entiers qui comptent le nombre de points d'un ensemble formant certaines figures géométriques. Les cas les plus simples sont ceux des nombres triangulaires, qui comptent le nombre de points nécessaires pour réaliser des triangles équilatéraux :
  Un cas particulier bien connu des nombres figurés est celui des nombres polygonaux. Ils consistent à compter le nombre de points nécessaires pour disposer des figures représentant des polygones réguliers :
  Les nombres figurés ont passionné les mathématiciens depuis les grecs. On doit notamment à Fermat l'énoncé suivant :
Théorème : Tout nombre entier naturel non nul est la somme d'au plus $n$ nombres polygonaux formés sur la base d'un polygone régulier à $n$ côtés.
Autrement dit, tout entier strictement positif est la somme d'au plus trois nombres triangulaires, quatre nombre carrés,… Fermat n'a pas démontré ce théorème. On en doit la preuve à trois grands mathématiciens : Lagrange (vers 1770) pour les nombres triangulaires, Gauss (vers 1796) pour les nombres carrés, Cauchy (vers 1813) pour le cas général.
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