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Morphisme de groupe

Parmi les applications d'un groupe $G$ dans un groupe $G'$, certaines sont plus importantes que d'autres : ce sont celles qui respectent la structure de groupe.

Définition : Soit $f$ une application de $G$ dans $G'$; on dit que $f$ est un (homo)morphisme de groupes si, pour tous $x$ et $y$ de $G$, on a : $$f(x\times y)=f(x)\times f(y).$$

Ceci signifie la chose suivante : si on prend deux éléments $x$ et $y$ du groupe de départ, on peut :

  • ou calculer d'abord $x\times y$, puis appliquer $f$,
  • ou calculer individuellement $f(x)$ et $f(y)$, puis calculer le produit $f(x)\times f(y)$,
on doit trouver le même résultat.

Donnons quelques définitions relatives aux morphismes de groupes, et qui peuvent aussi s'appliquer à d'autres types de morphismes :

  • f est un isomorphisme de groupes si $f$ est une bijection. On prouve alors aussi que $f^{-1}$ est un morphisme de groupes.
  • f est un automorphisme de groupes si $f$ est un isomorphisme et si $G=G'$ (même groupe au départ et à l'arrivée).
  • Le noyau de $f$, noté $\ker f$, est l'ensemble des $x$ de $G$ tels que $f(x)=1_{G'}$. Le noyau $\ker f$ est un sous-groupe de $G$, et on prouve que $f$ est injective si et seulement si $\ker f=\{1_G\}$.
  • L'image de f est l'ensemble $$\textrm{Im}(f)=\{y\in G':\ \exists x\in G,\ y=f(x)\}.$$ L'image $\textrm{Im}(f)$ est un sous-groupe de $G'$.
  • Le conoyau de $f$ est le groupe quotient $G/\ker(f)$. Par le première théorème d'isomorphisme, $f$ induit alors un isomorphisme de groupe de $G/\ker(f)$ sur $\textrm{Im}(f)$.
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