$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
\newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}
\newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n}
\newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}}
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)}
\newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch}
\DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th}
\DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im}
\DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle}
\newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]}
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$
Bibm@th
Morphisme de groupe
Parmi les applications d'un groupe G dans un groupe G', certaines sont plus importantes que d'autres : ce sont celles qui respectent la structure de groupe.
|
Définition : Soit f une application de G dans G'; on dit que f est un (homo)morphisme de groupes si,
pour tous x et y de G, on a :
f(x×y)=f(x)×f(y)
|
Ceci signifie la chose suivante : si on prend deux éléments x et y du groupe de départ, on peut :
- ou calculer d'abord x×y, puis appliquer f,
- ou calculer individuellement f(x) et f(y), puis calculer le produit f(x)× f(y),
on doit trouver le même résultat.
Donnons quelques définitions relatives aux morphismes de groupes, et qui peuvent aussi s'appliquer à d'autres types de morphismes :
- f est un isomorphisme de groupes si f est une bijection. On prouve alors aussi que f-1 est un morphisme de groupes.
- f est un automorphisme de groupes si f est un isomorphisme et si G=G' (même groupe au départ et à l'arrivée).
- Le noyau de f, noté Ker f, est l'ensemble des x de G tels que f(x)=1G'. Ker f est un sous-groupe de G, et on prouve que f est injective si et seulement si Ker f={1G}.
- L'image de f est Im(f)={y
; il existe x de G tel que y=f(x)}. Im(f) est un sous-groupe de G'.
- Le conoyau de f est le groupe quotient G/Ker(f). f induit alors un isomorphisme de groupe de G/Ker(f) sur Im(f).
