$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorème de Montel

Une suite $(f_n)$ de fonctions définies sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$ est appelée une famille normale si l'on peut extraire de $(f_n)$ une sous-suite qui converge uniformément sur un voisinage de tout point de $U$.

Le théorème de Montel est une condition suffisante très simple pour vérifier qu'une suite $(f_n)$ de fonctions holomorphes est une famille normale.

Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert $U$. On suppose que la suite $(f_n)$ est uniformément bornée sur les compacts de $U$; autrement dit, que pour tout compact $K$ inclus dans $U$, il existe une constante $M_K$ telle que $|f_n(z)|\leq M_K$ pour tout $z\in K$ et tout $n\geq 1$. Alors il existe une fonction holomorphe $f$ définie sur $U$ et une sous-suite de $(f_n)$ qui converge uniformément sur les parties compactes de $U$ vers $f$.

La réciproque du théorème de Montel est facile (toute suite qui converge uniformément sur toutes les parties compactes est uniformément bornée sur chaque compact. Si on munit $H(U),$ l'espace des fonctions holomorphes sur $U,$ d'une métrique adéquate, on peut en déduire une variante du théorème d'Ascoli. Considérons en effet une suite $(K_n)_{n\geq 1}$ de parties compactes de $U$ vérifiant les propriétés suivantes :

  • pour tout entier $n\geq 1$, $K_n\subset \mathring{K_{n+1}};$
  • pour toute partie compacte $K$ de $U,$ il existe un entier $n\geq 1$ tel que $K\subset K_n$.

On dit que $(K_n)$ est une suite exhaustive de compacts de $U.$

Pour $f\in H(U)$ et $n\geq 1,$ on pose $$p_n(f)=\sup_{z\in K_n}|f(z)|.$$ On définit alors une distance $d$ sur $H(U)$ par $$d(f,g)=\sum_{n\geq 1} 2^{-n}\frac{p_n(f-g)}{1+p_n(f-g)}.$$ On démontre que $(H(U),d)$ est un espace métrique complet et qu'une suite $(f_n)$ de $H(U)$ converge vers $f\in H(U)$ pour $d$ si et seulement si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tous les compacts de $U$.

On dit qu'une partie $A$ de $H(U)$ est localement bornée si, pour tout $n\geq 1,$ il existe $M>0$ tel que, pour tout $f\in A$ et tout $z\in K,$ $|f(z)|\leq M.$

Le théorème de Montel peut alors s'énoncer comme suit :

Théorème : Soit $A$ une partie de $H(U)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $A$ est localement bornée.
  • $A$ est relativement compacte.
Le théorème de Montel est une variante du théorème d'Ascoli pour les fonctions holomorphes. Ce sont les inégalités de Cauchy qui permettent de démontrer que la suite $(f_n)$ a des propriétés d'équicontinuité.
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