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Théorème de Montel

  Une suite $(f_n)$ de fonctions définies sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$ est appelée une famille normale si l'on peut extraire de $(f_n)$ une sous-suite qui converge uniformément sur un voisinage de tout point de $U$.

  Le théorème de Montel est une condition suffisante très simple pour vérifier qu'une suite $(f_n)$ de fonctions holomorphes est une famille normale.
Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert $U$. On suppose que la suite $(f_n)$ est uniformément bornée sur les compacts de $U$; autrement dit, que pour tout compact $K$ inclus dans $U$, il existe une constante $M_K$ telle que $|f_n(z)|\leq M_K$ pour tout $z\in K$ et tout $n\geq 1$. Alors il existe une fonction holomorphe $f$ définie sur $U$ et une sous-suite de $(f_n)$ qui converge uniformément sur les parties compactes de $U$ vers $f$.

Le théorème de Montel est une variante du théorème d'Ascoli pour les fonctions holomorphes. Ce sont les inégalités de Cauchy qui permettent de démontrer que la suite (fn) a des propriétés d'équicontinuité.
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