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Moments d'une variable aléatoire - Fonction génératrice des moments
Définition : Si X est une variable aléatoire, on appelle moment d'ordre $k$, s'il existe, le nombre
.
Par exemple, l'espérance d'une variable aléatoire est son moment d'ordre 1. Si X est une variable aléatoire discrète, son moment d'ordre k se calcule par la formule :



- le moment centré d'ordre $k$ :
La variance d'une variable aléatoire est donc son moment centré d'ordre 2. - le moment factoriel d'ordre $k$ :
Définition : Si X est une variable aléatoire, on appelle fonction génératrice des moments la fonction :

La terminologie fonction génératrice des moments est bien appropriée. Si cette fonction est définie dans un voisinage de l'origine, alors :

- $X$ admet des moments de tous les ordres (entiers positifs).
- $g$ est développable en série entière dans un voisinage de l'origine et son développement est : $$g(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{E(X^k)}{k!}t^k.$$ En particulier, le moment d'ordre $k$ $E(X^k)$ est égal à $g^{(k)}(0)$.

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