Moments d'une variable aléatoire - Fonction génératrice des moments

Définition : Si X est une variable aléatoire, on appelle moment d'ordre $k$, s'il existe, le nombre

Par exemple, l'espérance d'une variable aléatoire est son moment d'ordre 1. Si X est une variable aléatoire discrète, son moment d'ordre k se calcule par la formule :

Si X est une variable aléatoire continue, alors ce même moment se calcule de la façon suivante :

Il existe encore différents types de moments :

le moment centré d'ordre $k$ : La variance d'une variable aléatoire est donc son moment centré d'ordre 2.
le moment factoriel d'ordre $k$ :

Définition : Si X est une variable aléatoire, on appelle fonction génératrice des moments la fonction :

La terminologie fonction génératrice des moments est bien appropriée. Si cette fonction est définie dans un voisinage de l'origine, alors :

$X$ admet des moments de tous les ordres (entiers positifs).
$g$ est développable en série entière dans un voisinage de l'origine et son développement est : $$g(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{E(X^k)}{k!}t^k.$$ En particulier, le moment d'ordre $k$ $E(X^k)$ est égal à $g^{(k)}(0)$.

Réciproquement, si la série $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{E(|X|^k)}{k!}t_0^k$$ converge, alors $X$ admet une fonction génératrice des moments définie au moins sur $]-t_0,t_0[$.

De plus, si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires ont même fonction génératrice des moments définie sur un intervalle ouvert contenant $0$, alors $X$ et $Y$ ont même loi.

Les moments font partie des caractères de dispersion d'une variable aléatoire.

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