Module d'uniforme continuité

Soit $(E,d)$ et $(F,\delta)$ deux espaces métriques, et $f : E\to F$ une fonction uniformément continue. On appelle module d'uniforme continuité de $f$ la fonction $t\in]0,+\infty[\mapsto \omega_f(t)$ définie par $$\omega_f(t)=\sup\{\delta(f(x),f(y)):\ d(x,y)\leq t\}.$$ L'uniforme continuité de $f$ assure que $\omega_f(t)$ tend vers $0$ lorsque $t$ tend vers $0.$ En particulier, $f$ est lipschitzienne de rapport $K$ si et seulement si $\omega_f(t)\leq Kt$ pour tout $t>0$.