Mesure extérieure

Soit $X$ un ensemble et $\mu:\mathcal P(X)\to[0,+\infty]$ définie sur l'ensemble des parties de $X.$ On dit que $\mu$ est une mesure extérieure si

La différence essentielle par rapport à une mesure est qu'on ne demande pas à ce qu'il y ait égalité dans le point 3. si les $E_n$ sont deux à deux disjoints.

La notion de mesure extérieure, introduite formellement par Constantin Carathéodory, est utile pour construire la mesure de Lebesgue. Voici comment on peut procéder :

• Etant donnée une mesure extérieure $\mu$ sur $X,$ on appelle ensemble mesurable pour $\mu$ toute partie $A$ de $X$ telle que $$\forall B\subset X,\ \mu(B)=\mu(B\cap A)+\mu(B\cap A^c).$$ L'ensemble des parties mesurable de $X$ constitue une tribu, et la mesure extérieure devient une vraie mesure quand elle est restreinte à cette tribu.
• Etant donné une algèbre de parties $\mathcal A$ de $X$ et $\mu$ une mesure sur $\mathcal A$, on peut la prolonger en une mesure extérieure $\mu^*$ sur $\mathcal P(X)$ par la formule $$\mu^*(A)=\inf\left\{\sum \mu(A_n):\ A\subset\bigcup_n A_n,\ A_n\in\mathcal A\right\}.$$ En particulier, par le premier point, on obtient une mesure sur la tribu des parties mesurables de $\mu^*$, et cette tribu contient $\mathcal A$.
• Pour construire la mesure de Lebesgue, on considère $\mathcal A$ l'algèbre des réunions d'intervalles disjoints, qu'on munit de la mesure $$\mu\left(\bigcup_n A_n\right)=\sum_n l(A_n)$$ où les $A_n$ sont des intervalles deux à deux disjoints et $l(A_n)$ est la longueur de $A_n$. La mesure de Lebesgue est alors la restriction de la mesure extérieure associée à $\mu$ à la tribu de ses ensembles mesurables. Il reste à montrer que cette tribu contient tous les boréliens...