Mesure complète
Définition : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré. On dit que la mesure $\mu$
est complète si, pour tout élément $N\in\mathcal A$ vérifiant $\mu(N)=0$ et pour toute
partie $M\subset N$, alors $M\in\mathcal A$
Autrement dit, $\mu$ est complète si tout ensemble négligeable pour $\mu$ appartient à la tribu $\mathcal A$. Remarquons
que la terminologie est assez mal adaptée, car la définition précédente est une propriété qui porte
à la fois sur la mesure et sur la tribu.
Étant donné un espace mesuré $(X,\mathcal A,\mu)$, il est toujours possible de le compléter :
Théorème : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré. Posons
$$\mathcal A_\mu=\{A\cup M;\ A\in \mathcal A,\ M\textrm{ est $\mu$-négligeable}\}.$$
Alors :
- $A_\mu$ est une tribu;
- On peut étendre la mesure $\mu$ à $\mathcal A_\mu$ en posant $$\mu'(A\cup M)=\mu(A).$$
- La mesure $\mu'$ ainsi définie sur $(X,\mathcal A_\mu)$ est complète.
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