$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Transformée de Mellin

Si $f$ est une fonction mesurable sur $]0,+\infty[$ à valeurs dans $\mathbb R$, on définit sa transformée de Mellin par $$\mathcal Mf(s)=\int_0^{+\infty}f(t)t^{s-1}dt$$ définie aux points $s$ de $\mathbb C$ pour lesquels $t\mapsto f(t)t^{s-1}$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. Par exemple, si $f$ est continue sur $]0,+\infty[$ et s'il existe $\alpha<\beta$ tels que $$f(x)=O(x^{-\alpha})\textrm{ quand }x\to 0$$ $$f(x)=O(x^{-\beta})\textrm{ quand }x\to+\infty$$ alors $\mathcal Mf$ définit une fonction holomorphe sur la bande $\alpha< \Re e(s)< \beta$.

$$ \begin{array}{r|c|l} f&\mathcal Mf&\textrm{Bande}\\ \hline \displaystyle \mathbf 1_{[0,a]}&\displaystyle \frac{a^s}s&\Re e(s)>0\\ \displaystyle e^{-ax}&\displaystyle\frac{\Gamma(s)}{a^s}&\Re e(s)>0\\ \displaystyle e^{-x^2}&\displaystyle\frac{\Gamma(s/2)}{1}&\Re e(s)>0\\ \displaystyle \frac1{1+x}&\displaystyle\frac{\pi}{\sin(\pi s)}&0<\Re e(s)<1\\ \displaystyle \frac1{1+x^2}&\displaystyle\frac{\pi/2}{\sin(\pi s/2)}&0<\Re e(s)<2\\ \displaystyle \ln(1+x)&\displaystyle\frac{\pi}{s\sin(\pi s)}&-1<\Re e(s)< 0\\ \end{array} $$

Si $\varphi$ est une fonction holomorphe dans un demi-plan $\Re e(s)>\alpha$, on appelle transformée de Mellin inverse de $\varphi$ la fonction $$\mathcal M^{-1}\varphi(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\varphi(s)ds$$ avec $c> \Re e(\alpha)$ où il s'agit d'une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe. On a alors le théorème suivant :

Théorème : Soit $f:]0,+\infty[\to \mathbb C$ continue. On suppose qu'il existe un nombre réel $\alpha$ tel que $$f(x)=O(x^{-\alpha})\textrm{ quand }x\to 0$$ et que, pour tout $\beta>0$, $$f(x)=O(x^{-\beta})\textrm{ quand }x\to+\infty.$$ Alors on a, pour tout $x>0$, $$f(x)=\mathcal M^{-1}\mathcal Mf(x).$$

Les transformées de Mellin et de Mellin inverse sont utilisées dans la théorie des séries de Dirichlet à travers la formule de Perron.

Formule de Perron : Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet d'abscisse de convergence $\sigma_c$. Pour $x>0$, on note $A(x)=\sum_{n\leq x}a_n n^{-s}$. Alors, pour tout $c>\max(0,\sigma_c)$ et tout $x>0$, $x$ non entier, $$A(x)=\frac{1}{2i\pi}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}f(s)\frac{x^s}sds.$$