Matrice symétrique (définie) positive
Une matrice symétrique $M$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ est dite symétrique positive si pour tout $X\in\mathbb R^n,$ on a $$X^T M X\geq 0.$$ Elle est dite symétrique définie positive si pour tout $X\in\mathbb R^n$ non nul, on a $$X^T M X> 0.$$ Si $u$ est l'endomorphisme de $\mathbb R^n$ dont la matrice dans la matrice canonique est $M$, et si $\mathbb R^n$ est muni du produit scalaire canonique, ceci revient à dire que $u$ est symétrique positif (respectivement symétrique défini positif).
Si $q$ est la forme quadratique associée à $M$, dire que $M$ est définie positive revient à dire que $q$ est définie positive.
Le théorème suivant caractérise les matrices définies positives :
Théorème (critère de Sylvester) :
Pour qu'une matrice $\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$
réelle symétrique soit définie positive,
il faut et suffit que les $n$ matrices ${\displaystyle A_{p}=\left(a_{ij}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant p}}$
pour $p=1,\dots,n$ aient leur déterminant strictement positif, autrement dit que les $n$ mineurs principaux de $A$
soient strictement positifs.
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