$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inverse d'une matrice

Une matrice $A$ de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ est dite inversible s'il existe $B\in \mathcal M_n(\mathbb K)$ tel que $$AB=BA=I_n.$$ Une matrice $B$ vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de $A$ et se note $A^{-1}$.

On dispose de quelques propriétés relatives aux inverses de matrice :

  • Si $A$ est la matrice d'un endomorphisme $u$, alors $A$ est inversible si et seulement si $u$ est bijective.
  • $A$ est inversible si et seulement si son déterminant n'est pas nul.
  • $A\in \mathcal M_n(\mathbb K)$ est inversible si et seulement si son rang est n.

Il existe une formule théorique, issue des formules de Cramer, qui donne l'inverse d'une matrice en fonction de son déterminant et de sa comatrice. On n'utilise presque jamais cette formule en pratique, on lui préfère l'algorithme du pivot de Gauss. Concrètement, on crée un tableau avec à gauche la matrice à inverser, et à droite la matrice identité. On réalise ensuite une suite d'opérations élémentaires sur la matrice à inverser pour la ramener à l'identité. La même suite d'opérations élémentaires effectuée sur la matrice identité donne l'inverse de la matrice de départ.

Ex : Inversons la matrice
L'algorithme précédent donne :
La matrice inverse est donc
Consulter aussi...