Théorème de Maschke
Le théorème de Maschke est un résultat donnant l'existence d'un supplémentaire stable à un sous-espace stable par tous les éléments d'un groupe fini opérant sur un espace vectoriel. On peut en donner deux formulations, suivant le point de vue où l'on se place (mais il s'agit bien du même résultat!).
Théorème de Maschke en algèbre linéaire
Théorème : Soit $\mathbb K$ un corps de caractéristique nulle, $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel et $G$
un sous-groupe fini de $GL(E)$. On suppose qu'il existe un sous-espace $F$ de $E$ stable par tous les éléments de $G$. Alors il existe un supplémentaire
de $F$ stable par tous les éléments de $G$.
En fait, on peut supposer dans l'énoncé ci-dessus que $G$ est un groupe fini opérant sur $E$, et que la caractéristique de $\mathbb K$ ne divise pas l'ordre de $G$.
Théorème de Maschke en représentation de groupes
Théorème :
Soit $G$ un groupe fini et $V$ un $\mathbb K$-espace vectoriel tel que la caractéristique de $\mathbb K$ ne divise par l'ordre de $G$. Alors toute
représentation de $G$ sur $V$ est complètement réductible.
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