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Marche aléatoire

Présentation informelle

Une puce se trouve à l'instant $t=0$ en un point appelé origine. Chaque seconde, elle peut faire un pas vers la gauche, ou vers la droite, ou vers le haut ou vers le bas, avec une égale probabilité. La puce décrit ce que l'on appelle une marche aléatoire dans le plan. Il y a beaucoup d'autres marches aléatoires possibles : dans l'espace, sur un graphe, avec des probabilités non identiques….

Les marches aléatoires modélisent de nombreux phénomènes physiques. Ainsi, Brown en 1820, puis Einstein en 1905, ont décrit de cette façon le mouvement d'une particule dans un fluide, soumis au choc de ses voisines. Cette étude a mené au mouvement brownien, la plus célèbre et la plus utilisée des marches aléatoires (il sert notamment pour décrire le cours d'une action).

Un célèbre théorème de Polya assure que, avec une probabilité 1, la marche aléatoire finit par repasser par l'origine : on dit que la marche aléatoire est récurrente. Ceci n'est plus vrai si la marche aléatoire se déroule dans l'espace!

L'animation suivante simule une marche aléatoire dans le plan. Vous pouvez vérifier expérimentalement la propriété de récurrence de la marche!

Présentation formelle
Définition : Soit $d\geq 1$ et soit $(e_1,\dots, e_d)$ la base canonique de $\mathbb Z^d$. Soit $(X_i)$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\{(\pm e_1,\dots,\pm e_d)\}$. On apppelle marche aléatoire associée la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\geq 1}$ où $S_n$ est défini par $$S_n=X_1+\dots+X_n.$$

Dans l'étude d'une marche aléatoire, on s'intéresse à savoir si on retourne au point de départ, c'est-à-dire à l'origine.

Définition :
  • On dit que la marche aléatoire est récurrente si $$P(S_n=0\textrm{ infiniment souvent})=1.$$
  • On dit que la marche aléatoire est transiente si $$P(S_n=0\textrm{ infiniment souvent})=0.$$

Les deux possibilités "être récurrente" et "être transiente" ne semblent pas couvrir tous les deux cas. En réalité, par une sorte de loi du zéro/un de Kolmogorov, on a le théorème suivant :

Théorème : Une marche aléatoire est ou bien transiente, ou bien récurrente.

Il se trouve que lorsque chaque déplacement est équiprobable, on sait caractériser si une marche aléatoire est récurrente ou transiente. Il s'agit là d'un théorème de Polya, dont le résultat dépend de la dimension.

Théorème : On considère une marche aléatoire sur $\mathbb Z^d$ telle que $$P(X_i=e_j)=P(X_i=-e_j)=\frac 1{2d }$$ pour tout $i\geq 1$ et tout $j\in\{1,\dots,d\}$. Alors
  • la marche aléatoire est récurrente si $d=1$ ou $d=2$.
  • la marche aléatoire est transiente si $d\geq 3$.

Autrement dit, un marcheur bourré finit par rentrer chez lui. Un oiseau bourré ne retrouve pas son nid!

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