Loi de Weibull

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de Weibull de paramètres $\alpha>0$ et $\lambda>0$ si elle admet pour densité : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \alpha\lambda e^{-\lambda x^\alpha}x^{\alpha-1}&\textrm{si }x\geq 0\\ 0&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$ Lorsque $\alpha=2$ et $\lambda=1/2$, on l'appelle aussi loi de Rayleigh. $X$ admet alors une espérance $$E(X)=\frac{\Gamma(1+1/\alpha)}{\lambda^{1/\alpha}}.$$ La loi de Rayleigh apparaît souvent pour décrire le bruit en sortie de certains récepteurs de transmissions. La loi de Weibull elle est utilisée notamment en théorie de la fiabilité, lorsque le système que l'on étudie vieillit et que le taux de panne augmente au cours du temps.