$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi de Student

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de Student à $n$ degrés de liberté si elle est absolument continue et admet pour densité : $$f(x)=\frac1{\sqrt{n\pi}}\frac{\Gamma(\frac{n+1}2)}{\Gamma(\frac n2)}\left(1+\frac{x^2}n\right)^{-\frac{n+1}2}.$$

Courbe représentative de la densité :

Application : La loi de Student intervient dans les tests de comparaison de deux espérances en raison de la propriété fondamentale suivante : si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale de même espérance $m$ et de même variance, si $$M_n=\frac1n\sum_{k=1}^n X_i$$ est la variable aléatoire qui estime l'espérance et si $$S_n^2=\frac1{n-1}\sum_{k=1}^n (X_k-M_n)^2$$ est la variable aléatoire "estimateur débiaisé" de la variance, alors $$\frac{M_n-m}{\frac{S_n}{\sqrt n}}$$ suit une loi de Student à $(n-1)$ degrés de liberté.

Théorème : Lorsque $n$ tend vers $+\infty,$ la loi de Student à $n$ degrés de liberté converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
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