Loi multinomiale
On dit qu'un vecteur aléatoire $(X_1,\dots,X_r)$ suit une loi multinomiale de paramètres $n,p_1,\dots,p_r,$ avec $p_i\in]0,1[$ et $p_1+\cdots+p_r=1$ si :
- $X_1(\Omega)=\dots=X_r(\Omega)=\{0,\dots,n\}.$
- La loi de $(X_1,\dots,X_r)$ est donnée par : $$P\big( (X_1=k_1)\cap (X_2=k_2)\cap\cdots \cap (X_r=k_r)\big)=\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!}p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$$ si $k_1+\cdots+k_r=n,$ $$ P\big( (X_1=k_1)\cap (X_2=k_2)\cap\cdots \cap (X_r=k_r)\big)=0$$ sinon.
Exemple : Tirage avec remise dans une urne multicolore.
Une urne contient des boules de $r$ couleurs différentes $c_i.$ On note $p_i$ la proportion de boules de couleur $c_i.$ On effectue $n$ tirages avec remise, et on note $X_i$ le nombre de boules de couleur $c_i$ tirées. Alors $(X_1,\dots,X_r)$ suit une loi multinomiale de paramètres $n,p_1,\dots,p_r.$
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