$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi gamma

Définition : On dit que $X$ suit la loi gamma de paramètres $p>0$ et $\lambda>0$, notée $\Gamma(p,\lambda)$, si elle admet pour densité $$f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\lambda}{\Gamma(p)}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{p-1}&\textrm{si }x>0\\ 0&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$

Une telle variable aléatoire $X$ admet alors une espérance et une variance donnés par $$E(X)=\frac p\lambda\textrm{ et }V(X)=\frac p{\lambda^2}$$ tandis que sa fonction caractéristique est $$\phi_X(t)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^p.$$

Courbe représentative de la densité :

Signification : La durée de vie d'un appareil ou d'un organisme suit souvent, quand le vieillissement intervient et donc que le taux de défaillance augmente, une loi $\Gamma(p,\lambda)$ avec $p>1$. Remarquons que la loi $\Gamma(1,\lambda)$ n'est autre que la loi exponentielle $\mathcal E(\lambda)$ qui s'utilise pour modéliser des durées de vie sans vieillissment.

Lorsque $p$ est un entier, la loi gamma s'appelle encore loi d'Erlang. La loi d'Erlang de paramètre $p$ et $\lambda$ est la loi de la somme de $p$ variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle de paramètre $\lambda$. A ce titre, elle est la loi du temps d'attente séparant la survenue des événements $k$ et $k+p$ dans un processus poissonien, par exemple une succession de pannes à taux de défaillance constant.

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