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Bibm@th

Loi de Fisher-Snedecor

On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi de Fisher-Snedecor de paramètres $m\geq 1$ et $n\geq 1$ si elle admet une densité qui vaut $$f(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{m+n}2\right)}{\Gamma\left(\frac m2\right)\Gamma\left(\frac n2\right)}n^{n/2}m^{m/2}\frac{x^{m/2-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}2}}.$$ Suivant les valeurs de $m$ et $n,$ $X$ admet alors une espérance et une variance qui sont données par $$E(X)=\frac{n}{n-2}$$ si $n\geq 3$ et $$V(X)=\left(\frac n{n-2}\right)^2\frac{2(m+n-2)}{m(n-4)}$$ si $n\geq 5$.

Courbe représentative de la densité :

Signification : La loi de Fisher-Snedecor de paramètres $m$ et $n$ est la loi du quotient normalisé de deux variables aléatoires qui suivent une loi du $\chi^2$ à respectivement $m$ et $n$ degrés de liberté : $$F_{m,n}=\frac{\frac{\chi^2_m}m}{\frac{\chi^2_n}n}.$$ Cette loi intervient dans de nombreux tests d'hypothèses, notamment l'analyse de la variance.

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