$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème de Liouville

Théorème : Si $f$ est une fonction holomorphe et bornée sur $\mathbb C$, alors $f$ est constante.

Une des applications les plus classiques du théorème de Liouville est la démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme à coefficients complexes non constant admet une racine dans $\mathbb C$. Soit en effet $P$ un tel polynôme et supposons que $P$ ne s'annule pas. On pose $f=1/P$. Puisque $P$ ne s'annule pas, $f$ est holomorphe sur $\mathbb C$; en outre, $f$ est bornée. En effet, si $|z|$ tend vers l'infini, il est clair que $|f(z)|$ tend vers 0, donc il existe $M$ tel que $|f(z)|\leq 1$ si $|z|>M.$ D'autre part $f$ est bornée sur tout compact, en particulier sur l'ensemble des $z$ avec $|z|\leq M$. Il en résulte, d'après le théorème de Liouville, que $f$ est constante, ce qui est absurde!

Ce théorème a été énoncé par Joseph Liouville devant l'Académie des Sciences en 1844 sous la forme suivante : une fonction doublement périodique uniforme et bornée dans tout le plan est constante.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique