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Loi des grands nombres
On s'est aperçu depuis longtemps que lorsqu'on lance un très grand nombre de fois un dé non pipé, la fréquence d'apparition du 5 tend vers 1/6 : c'est ce que les Anciens appelaient les lois empiriques du hasard. Le but premier des probabilités était de donner une modélisation mathématique de ces phénomènes. Les lois des grands nombres illustrent alors le succès de ce programme.
Loi faible des grands nombres
Théorème :
Soit $(X_n)$ une suite de variables intégrables, indépendantes deux à deux, et identiquement distribuées. Soit $m$ leur espérance commune. On note :

Alors la suite $(S_n)$ tend vers $m$ en probabilités.
Ex : On lance un dé non pipé, Xn vaut 1 si le n-ième lancer amène 5, et 0 sinon. Alors Sn tend vers 1/6 en probabilités.

Loi forte des grands nombres
Théorème :
Soit $(X_n)$ une suite de variables intégrables mutuellement indépendantes et identiquement distribuées. Soit $m$ leur espérance commune. On note :

Alors la suite $(S_n)$ tend vers $m$ presque sûrement.


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