Méthode de Laplace
La méthode de Laplace est un résultat qui permet de déterminer un équivalent de certaines fonctions définies par une intégrale. Elle peut s'énoncer ainsi :
Théorème : Soit $I=]a,b[$ un intervalle ouvert (borné ou non), soit $f:I\to\mathbb C$ continue et soit
$\varphi:I\to \mathbb R$ de classe $\mathcal C^2$. On suppose que :
Alors on a
$$\int_a^b f(x)e^{t\varphi(x)}dx\sim_{t\to+\infty}\sqrt{\frac{2\pi}{t|\varphi''(x_0)|}}e^{t\varphi(x_0)}f(x_0).$$
- pour tout $t>0$, l'intégrale $\int_a^b |f(x)|e^{t\varphi(x)}$ est convergente;
- $\varphi'$ ne s'annule sur $]a,b[$ qu'en $x_0$, où de plus $\varphi''(x_0)<0$ et $f(x_0)\neq 0$.
Les hypothèses entraînent que $\varphi$ atteint un maximum en $x_0$. En particulier, pour $x$ différent de $x_0$ et $t$ grand, $e^{t\varphi(x)}$ va être beaucoup plus petit que $e^{t\varphi(x_0)}$. La méthode de Laplace nous dit que la contribution importante de $\int_a^b f(x)e^{t\varphi(x)}dx$ se situe autour de $x_0$, et qu'elle s'obtient en remplaçant $\varphi$ par son développement de Taylor à l'ordre $2$ en $x_0$.
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