Croissance comparée de fonctions
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[a,b[$, $b$ pouvant être réel ou alors $+\infty$. On dit que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $b$ s'il existe une fonction $h:[a,b[\to\mathbb R$, de limite $0$ en $b$ et telle que, pour tout $x\in[a,b[$, $$f(x)=g(x)\times\big(1+h(x)\big).$$ On note alors $f\sim_b g$. Lorsque la fonction $g$ ne s'annule pas, dire que $f$ et $g$ sont équivalentes signifie que le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers $b$. Exemple : les fonctions sin x et x sont équivalentes en 0, $\sin x\sim_0 x.$ On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $b$ s'il existe une fonction $h:[a,b[\to\mathbb R$, de limite 0 en $b$ et telle que, pour tout $x\in[a,b[$, $$f(x)=g(x)\times h(x).$$ On note $f<<_bg$, ou encore $f=_bo(g)$, ce qui se lit "$f$ est un petit o de $g$". Lorsque la fonction $g$ ne s'annule pas, prouver que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $b$ revient à démontrer que le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $b$. Exemple :- la fonction $\ln x$ est négligeable devant $x$ au voisinage de $+\infty$.
- la fonction $x^2$ est négligeable devant $\exp(x)$ au voisinage de $+\infty$.
- plus généralement, le logarithme népérien est négligeable devant toute puissance positive de $x$ au voisinage de $+\infty$; toute puissance de $x$ est négligeable devant $\exp(x)$ au voisinage de $+\infty$.




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