Fonction de Lambert

La fonction $x\mapsto xe^x$ réalise une bijection de $[-1,+\infty[$ sur $[-e^{-1},+\infty[$. On appelle fonction de Lambert la réciproque de cette fonction, et on la note en général $W$. C'est une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]e^{-1},+\infty[$, strictement croissante, dont le graphe est le suivant :

Bien que l'on ne connaisse pas de formule explicite pour $W$, on connait de nombreuses propriétés de cette fonction. Ainsi, elle est concave, tend vers $+\infty$ en $+\infty$, est développable en série entière en $0$, son développement étant donné par $$W(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n.$$ La fonction de Lambert intervient par exemple dans certains problèmes de probabilité.