Inégalité de Kantorovitch
Théorème (inégalité de Kantorovitch matricielle) : Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)$
une matrice symétrique définie positive, $\lambda_{\textrm{min}}$ et $\lambda_{\textrm{max}}$ la plus petite
et la plus grande valeur propre de $A$. Alors pour tout $x\in\mathbb R^n$,
$$\langle Ax,x\rangle \langle A^{-1}x,x\rangle \leq \frac 14\left(\sqrt{\frac{\lambda_{\textrm{min}}}{\lambda_{\textrm{max}}}}
+\sqrt{\frac{\lambda_{\textrm{max}}}{\lambda_{\textrm{min}}}}\right)^2 \|x\|^4.$$
Cette inégalité est notamment utilisée pour étudier la convergence dans les méthodes de gradient à pas optimal. En utilisant une base orthonormée de vecteurs propres de $A$, elle se réduit à la version scalaire suivante :
Théorème (inégalité de Kantorovitch scalaire) : Soit $0<\lambda_1\leq\cdots\leq \lambda_n$ des nombres
réels strictement positifs. Alors, pour tous réels positifs $x_1,\dots,x_n$ tels que $x_1+\cdots+x_n=1$, on a
$$\left (\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i^{-1}x_i\right)\leq \frac 14\left(\sqrt{\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{n}}}
+\sqrt{\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{1}}}\right)^2.$$
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