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Méthode de Jacobi

La méthode de Jacobi est une méthode itérative pour résoudre les systèmes linéaires $Ax=b$, où $A$ est une matrice carrée d'ordre $n$ et $x$, $b$ sont des vecteurs de $\mathbb R^n$. Elle consiste en la manipulation suivante : on décompose $A$ comme $A=D-E-F$, où $D$ est une matrice diagonale, $-E$ est une matrice triangulaire inférieure, et $-F$ est une matrice triangulaire supérieure.

On peut alors transformer le système en

On définit ensuite une suite de vecteurs $(x^k)$ par la formule

et on espère que la suite $(x^k)$ converge vers une solution de $Ax=b$. Sous de bonnes hypothèses concernant la matrice $A$, c'est effectivement le cas.

Théorème : Si $A$ est une matrice à diagonale dominante, alors la suite $(x^k)$ converge vers l'unique solution de $Ax=b$.

Un raffinement de la méthode de Jacobi est la méthode de Gauss-Seidel.

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