$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Intégrales impropres

On définit $\int_a^b f(t)dt$ lorsque $f$ est une fonction continue ou continue par morceaux sur $[a,b]$. On cherche à donner un sens à une telle intégrale si $f$ est continue sur $[a,b[$ ou si $b=+\infty$.

Soit donc $a\in\mathbb R$, $b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$ avec $b>a$, et $f:[a,b[\to\mathbb R$ continue par morceaux. On dit que l'intégrale impropre $\int_a^b f(t)dt$ converge si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite lorsque $x$ tend vers $b$. On note alors $\int_a^b f(t)dt$ cette limite. Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale impropre $\int_a^b f(t)dt$ est divergente.

Exemple :

  • L'intégrale impropre $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}$ est convergente. En effet, si $x>1$, on a $$\int_1^x\frac{dt}{t^2}=\left[\frac{-1}t\right]_1^x=1-\frac 1x$$ et ceci tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. On a donc $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}=1.$
  • L'intégrale impropre $\int_0^1 \frac{dt}{t}$ est divergente. Le problème est ici en $0$, et on étudie la limite quand $x$ tend vers $0^+$ de $\int_x^1\frac{dt}t.$ Mais, $$\int_x^1\frac{dt}t=\left[\ln(t)\right]_x^1=-\ln(x)$$ et ceci tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $0^+.$
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