Intégrales impropres
On définit $\int_a^b f(t)dt$ lorsque $f$ est une fonction continue ou continue par morceaux sur $[a,b]$. On cherche à donner un sens à une telle intégrale si $f$ est continue sur $[a,b[$ ou si $b=+\infty$.
Soit donc $a\in\mathbb R$, $b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$ avec $b>a$, et $f:[a,b[\to\mathbb R$ continue par morceaux. On dit que l'intégrale impropre $\int_a^b f(t)dt$ converge si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite lorsque $x$ tend vers $b$. On note alors $\int_a^b f(t)dt$ cette limite. Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale impropre $\int_a^b f(t)dt$ est divergente.
Exemple :
- L'intégrale impropre $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}$ est convergente. En effet, si $x>1$, on a $$\int_1^x\frac{dt}{t^2}=\left[\frac{-1}t\right]_1^x=1-\frac 1x$$ et ceci tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. On a donc $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}=1.$
- L'intégrale impropre $\int_0^1 \frac{dt}{t}$ est divergente. Le problème est ici en $0$, et on étudie la limite quand $x$ tend vers $0^+$ de $\int_x^1\frac{dt}t.$ Mais, $$\int_x^1\frac{dt}t=\left[\ln(t)\right]_x^1=-\ln(x)$$ et ceci tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $0^+.$
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