Intervalle
Soit $I$ une partie de $\mathbb R$. On dit que $I$ est un intervalle si, pour tous $x<y$ appartenant à $I,$ pour tout $z\in\mathbb R$ avec $x<z<y,$ alors $z$ est élément de $I.$ Autrement dit, les intervalles de $\mathbb R$ sont les parties convexes de $\mathbb R.$
On démontre alors qu'un intervalle est forcément un ensemble du type suivant :
- $\mathbb R$, $\varnothing$;
- $]-\infty,a]$, $]-\infty,a[$;
- $[b,+\infty[$, $]b,+\infty[$;
- $[a,b]$, $]a,b]$, $[a,b[$, $]a,b[$.
La définition précédente peut se comprendre
de la façon suivante : un intervalle de $\mathbb R$ est une partie sans trou. Cette idée de
ne pas avoir de trou a une généralisation mathématique précise, les ensembles connexes.
Ainsi, les parties connexes de $\mathbb R$ sont les intervalles.
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