$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Intervalle

Soit $I$ une partie de $\mathbb R$. On dit que $I$ est un intervalle si, pour tous $x<y$ appartenant à $I,$ pour tout $z\in\mathbb R$ avec $x<z<y,$ alors $z$ est élément de $I.$ Autrement dit, les intervalles de $\mathbb R$ sont les parties convexes de $\mathbb R.$

On démontre alors qu'un intervalle est forcément un ensemble du type suivant :

  • $\mathbb R$, $\varnothing$;
  • $]-\infty,a]$, $]-\infty,a[$;
  • $[b,+\infty[$, $]b,+\infty[$;
  • $[a,b]$, $]a,b]$, $[a,b[$, $]a,b[$.
La définition précédente peut se comprendre de la façon suivante : un intervalle de $\mathbb R$ est une partie sans trou. Cette idée de ne pas avoir de trou a une généralisation mathématique précise, les ensembles connexes. Ainsi, les parties connexes de $\mathbb R$ sont les intervalles.
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