Interpolation de Tchebychev

Soit une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1,1]$ et $x_1,\dots,x_N$ des points distincts de l'intervalle $[-1,1]$. Le polynôme d'interpolation de Lagrange associé est l'unique polynôme de degré $N-1$ qui vérifie $P_N(x_i)=f(x_i)$ pour tout $i=1,\dots,N$.

La façon la plus naturelle de choisir les points $x_i$ est de les choisir uniformément répartis dans l'intervalle $[-1,1]$. On obtient alors une suite de polynômes $P_N$ qui interpole $f$ en de plus en plus de points. On pourrait s'attendre à ce que la suite $(P_N)$ converge uniformément vers $f$ lorsque le nombre de points d'interpolation augmente. Malheureusement, ce n'est pas le cas, ce phénomène est connu sous le nom de phénomène de Runge.

Une solution est, étonamment, de ne pas choisir les points uniformément répartis dans l'intervalle $[-1,1]$. Une raison pour cela est l'inégalité suivante : si $f$ est de classe $C^{N}$ sur l'intervalle $[-1,1]$, et si $L$ est le polynôme d'interpolation de Lagrange en les points $x_1,\dots,x_N$, alors on a $$\forall x\in [-1,1],\ |f(x)-L(x)|\leq \sup_{x\in [-1,1]} |(x-x_1)\cdots (x-x_N)| \times \frac{\|f^{(N)}\|_{\infty}}{N!}.$$ L'idée est donc de choisir les $x_i$ de sorte que $$\sup_{x\in[-1,1]} |(x-x_1)\cdots (x-x_N)|$$ soit le plus petit possible. On démontre que ceci est réalisé lorsque les $x_i$ sont les zéros du polynôme de Tchebychev de degré $n$, à savoir $$x_i=\cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right),\ i=1,\dots,n.$$

On peut généraliser cela à tout intervalle fermé $[a,b]$ par une simple action d'une translation et d'une homothétie. Précisément, les abscisses de Tchebychev d'ordre $n$ de l'intervalle [a,b] sont les réels $$x_i=\frac{a+b}2+\frac{b-a}2\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right),\ k=1,\dots,n.$$

Cependant, si l'interpolation au sens de Tchebychev est bien meilleure que l'interpolation aux points équidistants, elle ne résout pas complètement le phénomène de Runge.