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Inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire est d'abord une inégalité concernant les triangles dans le plan. Si $ABC$ est un tel triangle, alors on a $$AB\leq AC+CB.$$ Autrement dit, pour aller de $A$ à $B$, il est plus court de suivre la droite $(AB)$ que de suivre la droite $(AC)$ jusque $C$, puis la droite $(CB)$.

Par extension, d'autres résultats du même type portent le nom d'inégalité triangulaire. Par exemple, si $x$, $y$ sont deux réels, alors $$|x+y|\leq |x|+ |y|$$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ ont le même signe. Si $E$ est un espace vectoriel normé et $x,y$ sont des éléments de $E$, alors on a $$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$$ Lorsque $E$ est un espace préhilbertien, on a égalité si et seulement s'il existe $\lambda\in\mathbb R_+$ tel que $y=\lambda x.$

On appelle parfois deuxième inégalité triangulaire la relation suivante, que l'on déduit facilement de l'inégalité triangulaire classique : si $E$ est un espace vectoriel normé et $x,y$ sont des éléments de $E$, alors $$\big|\ \|x\|-\|y\|\ \big|\leq \|x-y\|.$$ Enfin, dans un espace métrique $(E,d)$, l'inégalité triangulaire est la relation $$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y),$$ vraie pour tous $x,y,z\in E.$

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