$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Hyperplan

Pour un espace vectoriel $E$, les hyperplans sont les analogues des plans pour l'espace usuel de dimension 3. Il y a plusieurs façons de formuler cela rigoureusement :

  • un hyperplan $H$ de $E$ est un sous-espace vectoriel maximal (pour la relation d'inclusion)! Si $F$ est un autre sous-espace vectoriel de $E$ avec $H\subset F$, alors ou bien $F=H$, ou bien $F=E$.
  • un hyperplan $H$ de E est un sous-espace vectoriel tel que $E$ se décompose comme la somme directe de $H$ et d'une droite vectorielle.
  • si $E$ est de dimension finie $n$, un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie $n-1$.
  • si $E$ est de dimension finie, si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, et si un élément $x$ de $E$ admet pour coordonnées $x_1,\dots,x_n$ dans cette base, un hyperplan $H$ de $E$ est l'ensemble des vecteurs $x$ de $E$ tels que $$a_1 x_1+\cdots +a_n x_n=0$$ où $a_1,\dots,a_n$ ne dépendent que de $H$.

Lorsqu'on est dans le cas d'un espace affine, un hyperplan affine est le translaté d'un hyperplan vectoriel. Il admet une équation du type $$a_1 x_1+\cdots +a_n x_n=c$$ si $E$ est de dimension finie.