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Bibm@th
Groupe fondamental
Soit X un espace topologique et p un point fixé de X. Un lacet
de X basé en p est une application continue de [0,1] dans X telle que f(0)=f(1)=p. Rappelons que deux
lacets f et g sont homotopes s'il existe une application continue
F:[0,1]->X telle que f(0,t)=f(t), F(1,t)=g(t), F(x,0)=F(x,1)=p.
Notons 
l'ensemble quotient des lacets de X
basés en p pour la relation d'équivalence "être homotope". On le munit d'une structure de groupe de la
façon suivante : la composée des deux lacets f et g est le lacet f×g obtenu en décrivant d'abord f, puis g :
Le groupe s'appelle groupe fondamental,
ou groupe de Poincaré de X en p. Il ne dépend pas du point p si X est connexe par arcs.
On peut alors parler du groupe fondamental de X.
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Théorème :
Soient X et Y deux espaces topologiques connexes par arc. Si X et Y sont homéomorphes, alors leur groupes fondamentaux
sont isomorphes.
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Le groupe fondamental permet donc de déterminer quand deux espaces topologiques ne sont pas homéomorphes.
Ex :
-
Plus généralement, si X est simplement connexe, 
-
.
Consulter aussi...
