Méthode de Gauss-Seidel
La méthode de Gauss-Seidel est une méthode pour résoudre les systèmes linéaires Ax=b, où A est une matrice n×n et x,b sont des vecteurs de Rn. Elle consiste en la manipulation suivante : on décompose A comme A=D-E-F, où D est une matrice diagonale, -E est une matrice triangulaire inférieure, et -F est une matrice triangulaire supérieure.


Théorème : Si A est une matrice symétrique définie positive, alors la suite
(xk) converge vers l'unique solution de Ax=b.
Cette méthode appelle plusieurs commentaires. Le premier est qu'on peut se demander pourquoi on a besoin
d'une méthode qui donne une solution approchée à une équation, alors qu'on dispose d'un algorithme (le pivot de Gauss)
qui donne en un temps raisonnable (de l'ordre de n3 opérations) une solution exacte. Il se trouve que le pivot de Gauss
est numériquement instable. Les erreurs de calcul de l'ordinateur s'accumulent et font que la solution que l'on calcule
est parfois très éloignée de la solution exacte. La convergence de la méthode de Gauss-Seidel est fondée sur le théorème du point fixe,
et cette méthode a moins ce défaut.
Ensuite, il faut vérifier que la suite (xk) est facilement calculable. Mais comme (D-E) est une matrice triangulaire inférieure,
elle n'est pas du tout difficile à inverser, et on a la formule suivante pour calculer xk+1 :


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