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Bibm@th
Méthode de Gauss
La méthode de Gauss est une méthode de calcul numérique d'intégrales à poids.
Elle constitue une application directe de la théorie des polynômes orthogonaux. Toutefois, elle a un
intérêt théorique plus que pratique.
Soit donc w un poids défini sur l'intervalle ]a,b[, c'est-à-dire une fonction continue et
strictement positive. On s'intéresse aux méthodes d'intégration approchée du type :
La méthode de Gauss est celle donnée par le théorème suivant :
|
Théorème : Il existe un et un seul choix des points xj
et des coefficients aj tels que la méthode soit d'ordre 2l+1.
Les points xj sont les racines
du (l+1)-ième polynôme orthogonal pour le poids w.
|
L'intérêt de la méthode de Gauss est donc de réaliser l'ordre maximal pour un nombre fixé
de points d'interpolation. Néanmoins, la complexité du calcul des zéros des polynômes orthogonaux
fait qu'elle n'est guère employée, sauf dans le cas où
sur ]-1,1[. Dans ce cas, les polynômes orthogonaux
considérés sont les polynômes de Tchebychev. Les racines xj valent
et on démontre que 
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