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Problème du cercle de Gauss

Le problème du cercle de Gauss est le problème de l'estimation du nombre de points à coordonnées entières contenus dans un disque de rayon $r$. Précisément, notons $N(r)$ le nombre de points à coordonnées entières dans le disque $\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x^2+y^2\leq r^2\}$. Alors $N(r)\sim_{r\to+\infty} \pi r^2$, l'aire du disque. On peut donc écrire $N(r)=\pi r^2+E(r)$ où $E(r)$ est un terme d'erreurs. Le problème du cercle de Gauss consiste en l'estimation de ce terme d'erreurs $E(r)$. Gauss lui-même avait prouvé que $$|E(r)|\leq 2\sqrt 2\pi r$$ tandis qu'Hardy et Landau ont prouvé qu'on ne pouvait pas espérer $$E(r)=o(r^{1/2}).$$ Il semble que le meilleur résultat connu soit $$E(r)=O\left(r^{\frac{131}{208}}\right).$$

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