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Bibm@th

Forme quadratique, polarisation

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb K$, et $Q$ une fonction de $E$ dans $\mathbb K$. On dit que $Q$ est une forme quadratique sur $E$ s'il existe $f:E\times E\to\mathbb K$ une forme bilinéaire symétrique telle que, pour chaque $x$ de $E$, on ait $$Q(x)=f(x,x).$$ On pourrait penser que le fait de ne regarder les valeurs de la forme bilinéaire symétrique que sur la diagonale de $E\times E$, c'est-à-dire sur les éléments du type $(x,x)$, fait que l'on perd des informations lorsque l'on passe d'une forme bilinéaire symétrique à la forme quadratique associée. Ce n'est pas le cas, car on dispose de l'identité de polarisation suivante : $$f(x,y)=\frac14\big(Q(x+y)-Q(x-y)\big).$$ Ainsi, à une forme quadratique $Q$ correspond une unique forme bilinéaire $f$ telle que $Q(x)=f(x,x)$. $f$ s'appelle la forme polaire de $Q$.

Bien souvent, on définit une forme quadratique directement à partir des coordonnées dans une base. Elle s'écrit alors comme un polynôme homogène de degré 2. Par exemple, $$Q(x,y,z)=x^2-3yz$$ est une forme quadratique sur $\mathbb R^3$.