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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre bilinéaire >

Formes positives, définies, non dégénérées

Soit E un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension finie, et $f$ une forme bilinéaire symétrique sur $E$. On dit que $f$ est:

  • positive si pour tout $x$ de $E$, $f(x,x)\geq 0$.
  • définie si pour tout $x$ de $E$, $f(x,x)=0$ entraîne $x=0$.
  • définie positive si elle est définie et positive.
  • non-dégénérée si le seul vecteur $x$ tel que $f(x,y)=0$ pour tout $y$ de $E$ es le vecteur nul (autrement dit, seul le vecteur nul est orthogonal (selon $f$) à tous les vecteurs de l'espace).

Remarquons qu'une forme définie est forcément ou définie positive, ou définie négative (même définition en remplaçant $\geq$ par $\leq$). D'autre part, une forme définie est forcément non dégénérée. Ces définitions s'appliquent aussi aux formes hermitiennes définies sur un $\mathbb C$-espace vectoriel.