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Formes différentielles exactes et fermées

Définition : On dit qu'une forme différentielle définie sur l'ouvert U de Rn est exacte s'il existe une application f de classe C1 de U dans R telle que . Une telle fonction f s'appelle une primitive de .

  Le nom de primitive vient de la proposition suivante, qui permet parfois de calculer l'intégrale curviligne d'une forme différentielle.
Prop : Si f est une primitive de et si est un arc paramétré de U, alors on a :

Définition : On dit que la forme différentielle de classe C1 définie sur l'ouvert U de Rn est fermée si elle vérifie

Si U est un ouvert du plan et que s'écrit Pdx+Qdy, il n'y a qu'une relation à vérifier
Le théorème de Schwarz montre aisément qu'une forme différentielle exacte est fermée. La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple classique
qui est fermée sur R2\{(0,0)} (c'est un calcul très simple!) mais qui n'est pas exacte. En effet, son intégrale sur le cercle unité paramétré par (cos t,sin t) vaut
alors que l'on aurait obtenu 0 si elle était exacte. Cependant, pour de nombreux ouverts, les formes différentielles exactes et fermées coïncident:
Théorème de Poincaré : Sur un ouvert étoilé, toute forme différentielle fermée est exacte.
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