$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème de Floquet

On considère une équation différentielle linéaire $X'(t)=A(t)X(t)$ où $A:\mathbb R\to\mathcal L(\mathbb R^n)$ est continue et $T$-périodique. Il est bien entendu naturel de se poser la question de l'existence de solutions $T$-périodiques à cette équation différentielle. Le théorème de Floquet dit que toute solution de cette équation différentielle s'exprime comme somme de fonctions $T$-périodiques atténuée ou amplifiée exponentiellement.

Théorème : Soit $A:\mathbb R\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ une application continue et $T$-périodique. Alors il existe $Q:\mathbb R\to GL_n(\mathbb R)$ une application continue et $T$-périodique et une matrice constante $\Lambda$ tels que les solutions de l'équation $X'(t)=A(t)X(t)$ sont les fonctions $X(t)=Q(t)\exp(t\Lambda)X_0$, où $u_0$ est un vecteur de $\mathbb R^n$.

Les valeurs propres de la matrice $\exp(\Lambda T)$ sont appelés les multiplicateurs de Floquet du problème. Leur connaissance permet de savoir s'il existe des solutions stables à l'équation différentielle :

  • si tous les multiplicateurs de Floquet ont un module supérieur strict à $1$, aucune solution n'est stable, à part la solution nulle.
  • si un des multiplicateurs de Floquet a un module inférieur ou égal à 1, alors il existe des solutions stables non nulles.
  • si tous les multiplicateurs de Floquet ont un module inférieur ou égal à 1, alors toutes les solutions sont stables.
Consulter aussi...